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Sammelbilder: So teuer kommt der Sammelbildwahn

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So teuer kommt der Sammelbildwahn

30.06.2011, 09:39 Uhr | Holger Dambeck, Spiegel Online

Frauenfußball-WM 2011, Star Wars, bedrohte Tiere - für fast alles gibt es Sammelalben mit Stickern zum Einkleben. Was Kindern großen Spaß macht, ist für die Anbieter ein äußerst lukratives Geschäft. Das wird sofort klar, wenn man das Phänomen Sammelbilder mathematisch analysiert.

Foto-Serie mit 3 Bildern

Kinder betteln an der Kasse um Sammelbilder

Am Wochenende hat es auch mich gepackt. Ich kam zufällig an einem Supermarkt vorbei, der anlässlich des verkaufsoffenen Sonntags kartonweise Sammelbilder von bedrohten Tieren verschenkte. Seit Anfang Mai bekamen Kunden für jeden Einkauf in Höhe von zehn Euro eine Tüte mit fünf Tierstickern. Diese konnten dann in das dazugehörige Album der Umweltschutzorganisation WWF geklebt werden. Manche Kinder lungerten stundenlang an den Supermarktkassen herum und baten jeden Kunden, ob sie nicht seine Tütchen bekommen könnten.

Nun war also auch ich vom Tütenfieber befallen. Zusammen mit einer Handvoll anderer Erwachsener und Kinder wühlte ich mich durch zehn Zentimeter hohe Sticker-Stapel - stets auf der Suche nach den letzten noch fehlenden Aufklebern.

Sammelbilder transportierten auch schon Nazi-Propaganda

Das Phänomen Sammelbilder ist schon ziemlich alt. Vor mehr als 150 Jahren legte die Firma Stollwerck ihren Schokoladentafeln Serienbilder bei. Im Dritten Reich wurden der Sammeltrieb für Propaganda genutzt - beispielsweise mit dem Album "Deutschland erwacht", das Adolf Hitler von seiner ganz privaten Seite zeigte: beim Picknick auf der Alm oder als Tierliebhaber beim Füttern von Rehen.

Wie viel Geld geht für ein volles Album drauf?

Heutzutage denkt man vor allem an die italienische Firma Panini, die mit Star-Wars-Stickern und vor allem mit den legendären Fußballalben gut im Geschäft ist. Das aktuelle Sticker-Album zur Frauenfußball-WM 2011 kostet zwei Euro, eine Tüte mit fünf Stickern 60 Cent. Es gibt insgesamt 335 verschiedene Aufkleber. Da drängt sich natürlich die Frage auf: Wie viele Tüten muss man eigentlich kaufen, damit das Album voll ist?

Dass es auf jeden Fall mehr als 335/5=67 sein müssen, ist jedem klar, der schon einmal mit einem solchen Album zu tun hatte. Nach dem Kauf der Hundertsten Tüte hat man diverse Aufkleber doppelt und dreifach - und im Album klaffen nach wie vor viele Lücken.

Ein bisschen Mathe: der Würfel-Vergleich

Wie lässt sich das Problem mathematisch beschreiben? Wenn wir annehmen, dass die Bildchen in den Tüten wirklich zufällig verteilt sind, dann können wir das Phänomen Sammelbilder sehr anschaulich mit einem Würfel beschreiben.

Wir machen es uns ganz einfach und nehmen erst einmal an, dass nur sechs verschiedene Sammelbilder existieren. Außerdem gibt es einen unendlich großen Sammelbildpool, aus dem wir die Sammelbilder beziehen, wobei natürlich die sechs verschiedenen Sammelbilder darin gleich häufig auftreten.

Jedes Mal, wenn ich ein Sammelbild kaufe, könnte ich auch würfeln. Denn die Chance, das Sammelbild Nummer eins zu ziehen ist genauso groß wie beim Würfeln eine eins zu haben. Wenn ich also k Mal nacheinander würfle, entspricht das mathematisch gesehen dem Kauf von k Sammelkarten.

Wie wahrscheinlich ist ein neuer Treffer?

Nun berechne ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich bei einem Kartenkauf/Würfeln eine Zahl erhalte, die ich vorher noch nicht hatte. Beim ersten Mal Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1 - ich habe ja noch keine einzige Augenzahl gewürfelt. Beim zweiten Mal Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit P=5/6, denn eine Augenzahl habe ich ja schon beim ersten Mal gewürfelt. Ich brauche also im Durchschnitt 1/p=6/5 Würfelversuche, um eine zweite Augenzahl zu erhalten, die sich von der zuerst gewürfelten unterscheidet. Für zwei verschiedene Augenzahlen muss ich demnach im Durchschnitt (1 + 6/5) = 2,2 Mal Würfeln.

Danach brauche ich eine dritte Augenzahl. Weil ich schon zwei verschiedene habe, ist die Wahrscheinlichkeit dafür 4/6. Im Mittel brauche ich demnach 6/4 = 1,5 Würfelversuche für die dritte Augenzahl - macht für alle drei Augen zusammen 2,2 + 1,5 = 3,7. Und so geht das immer weiter bis zur sechsten Augenzahl, die noch fehlt.

Die verbleibenden Wahrscheinlichkeiten für vier, fünf und sechs verschiedene Augenzahlen sind 3/6, 2/6, 1/6. Durchschnittlich muss ich demnach

W6 = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1

Mal würfeln, um jede er sechs Punktzahlen von eins bis sechs mindestens einmal gewürfelt zu haben. Ich kann diese Summe auch anders aufschreiben:

W6 = 6*(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6)

Verblüffend viele Würfe sind nötig

Das Ergebnis ist übrigens 14,7. Überrascht Sie dieses Ergebnis auch? Ein Würfel hat sechs Seiten - damit jede Seite einmal oben liegt, muss man ihn im Durchschnitt fast 15 Mal werfen. Sicher gibt es Glückspilze, die nur acht oder neun Versuche brauchen, und Pechvögel, denen auch nach 30 Würfen noch eine 5 fehlt. Wenn aber Hunderte Menschen dieses Experiment zugleich ausführen, dann wird der Mittelwert ihrer Würfelwurfe bei 14,7 liegen.

Diese Formeln sollten Sammler kennen

Nun zum allgemeinen Fall mit n verschiedenen Sammelkarten. Er entspricht einem Würfel mit n Seiten, bei dem ich jede Augenzahl mindestens einmal würfeln möchte. Die Zahl der zu kaufenden Karten wird mit folgender Formel berechnet:

Wn = n*(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n)

Den Ausdruck in der Klammer nennt man harmonische Reihe Hn.

Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n

Leider existiert für Hn keine einfache Summenformel, aber immerhin gibt es eine Näherungsformel, die den natürlichen Logarithmus (zur Basis e, e=2,71...) nutzt. Sie lautet

Hn = ln(n) + 0,577

Nun können wir also ausrechnen, wie viele Panini-Sammelbilder ich durchschnittlich kaufen muss, um das Frauen-WM-Album vollzubekommen. Bei 335 verschiedenen Bildchen brauche ich

W335 = 335*(ln(335) + 0,577) = 2141 Aufkleber.

429 Tüten und 260 Euro bis das Album voll ist

Dies entspricht 429 Tüten. Ein Sammler muss also durchschnittlich 257,40 Euro investieren, damit sein Album voll ist. Eine stattliche Summe, vor allem wenn man bedenkt, dass vor allem Kinder zur Zielgruppe der Aufkleber gehören. Dies gilt, und das muss hier ausdrücklich betont werden, nur für die Annahme einer perfekten Zufallsverteilung der Bilder. Wenn bestimmte Sticker seltener auftauchen als alle übrigen, dann stimmt die Rechnung natürlich nicht mehr.

Tauschen spart Geld

Wie fällt das Fazit aus? Verheerend! Ich muss 2141 Bildchen kaufen, um ein Album mit 335 Stickern zu füllen. Dann bleiben 1806 Aufkleber übrig, die ich doppelt, dreifach, vierfach oder noch öfter habe. Immerhin lässt sich die Ausbeute verbessern, wenn ich eifrig mit anderen Sammlern tausche. Das spart auf jeden Fall bares Geld, aber vollständig wird ein Album so nur selten.

Für diesen Fall bietet Panini übrigens an, bis zu 50 fehlende Sticker pro Album beziehungsweise pro Person nachzubestellen. Das kostet dann 18 Cent pro Stück zuzüglich 2,50 Euro Porto - für 50 Stück sind das 11,50 Euro. Wer dies sieben Mal macht, etwa indem er im Namen von sich und sechs fiktiven Geschwistern und Freunden bestellt, den kostet der Sticker-Komplettsatz 77,80 Euro.

Panini sammelt im Gegenzug die Daten der Sammler

Auf dem Bestellformular fragt Panini übrigens auch nach Handynummer, Telefonnummer, E-Mail-Adresse, Postanschrift und dem Geburtsdatum. Man kann der Nutzung der Daten für Werbezwecke zwar widersprechen, aber dreist ist die Sammlung von persönlichen Daten trotzdem: Denn Geld verdient Panini ja auch ohne Nachbestellung schon mehr als genug.

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