Den Mittelpunkt eines Kreises bestimmen

Eine Aufgabe aus dem Mathematikunterricht, die zum "Rückwärtsdenken" auffordert: Auf dem Papier befindet sich ein Kreis, der mit einer Dose oder einem anderen runden Gegenstand gezeichnet wurde. Und Sie sollen den Mittelpunkt dieses Kreises bestimmen - als Konstruktion mit Zirkel und Lineal, wie bei solchen Aufgaben üblich.

Den Mittelpunkt eines Kreises konstruieren

Die Anfangssituation dieser Aufgabe aus dem Geometrieunterricht sieht wie folgt aus: Vor Ihnen befindet sich ein Blatt Papier, auf dem sich ein Kreis befindet. Den Mittelpunkt dieses Kreises kennen Sie nicht. Ihre Aufgabe ist es, mit einer klassischen Konstruktion, also nur mit Zirkel und Lineal den Mittelpunkt des Kreises zu bestimmen.

Zunächst legen Sie willkürlich, jedoch nicht zu dicht nebeneinander, drei Punkte auf der Kreislinie fest, die Sie mit A, B und C bezeichnen. Verbinden Sie die Punkte zu einem Dreieck. Der vorgegebene Kreis ist für dieses Dreieck der Umkreis. Der gesuchte Mittelpunkt muss von den Ecken dieses Dreiecks jeweils gleichweit entfernt sein. Konstruieren Sie zu jeder der drei Dreiecksseiten jeweils die Mittelsenkrechte. Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich bei jedem Dreieck in einem Punkt, den Sie mit M bezeichnen. Er ist der gesuchte Mittelpunkt des Kreises.

So konstruieren Sie die Mittelsenkrechte einer Dreieckseite mit Zirkel und Lineal: Zeichnen Sie um jeden der beiden Endpunkte der Seite einen Kreis, dessen Radius etwas größer als die halbe Länge der Seite ist. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Einer liegt oberhalb, der andere unterhalb der Dreieckseite. Verbinden Sie die beiden Schnittpunkt und Sie erhalten die Mittelsenkrechte.

Der mathematische Hintergrund

Bei der gestellten Aufgabe haben Sie Typisches für den Mathematikunterricht gelernt, nämlich einen bekannten Sachverhalt umgekehrt, durch Rückwärtsdenken, anzuwenden. Gelernt haben sie, dass die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks sich in einem Punkt M schneiden. M ist der Mittelpunkt des Umkreises; alle Ecken des Dreiecks sind von diesem gleichweit entfernt. Sollen Sie umgekehrt den Mittelpunkt eines Kreises bestimmen, interpretieren Sie diesen als Umkreis eines (beliebigen) Dreiecks. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten führt zur Lösung der Konstruktionsaufgabe.

Einen speziellen Punkt bestimmen - eine Anwendung

Was zunächst nach einer mathematischen Spitzfindigkeit aussieht, hat reale Anwendungen. Ein Beispiel verdeutlicht eine solche Situation. Müssen drei Forschungsstationen aus einem gemeinsamen Depot versorgt werden, sollte dieses von allen drei Stationen gleich weit entfernt sein. Verdeutlichen Sie sich die Aufgabe anhand einer Skizze: Auch in diesem Fall konstruieren Sie den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten; die drei Stationen bilden das Dreieck für den dazugehörigen Umkreis.