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Japaner pr├Ąsentiert L├Âsung f├╝r Primzahlen-R├Ątsel

spiegel-online, Von Holger Dambeck

26.09.2012Lesedauer: 4 Min.
Primzahl-Tabelle: "Das ist eine ganz chaotische Situation"
Primzahl-Tabelle: "Das ist eine ganz chaotische Situation" (Quelle: Archiv)
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Der Beweis ist Hunderte Seiten lang - und er l├Ąsst Experten weltweit hoffen. Der japanische Mathematiker Shinichi Mochizuki hat erkl├Ąrt, eine L├Âsung f├╝r die legend├Ąre abc-Vermutung gefunden zu haben. Sollte seine Rechnung stimmen, w├╝rde sich das Wissen ├╝ber die mysteri├Âsen Primzahlen enorm erweitern.

Primzahlen sind mysteri├Âs. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar, es gibt unendlich viele von ihnen - aber ihr Auftreten scheint zuf├Ąllig zu sein. Manchmal folgen zwei Primzahlen im Abstand von 2 aufeinander - zum Beispiel 11 und 13 oder 41 und 43. Dann gibt es pl├Âtzlich gro├če L├╝cken von einer Primzahl zur n├Ąchsten - zum Beispiel zwischen 113 und 127. Die Riemannsche Vermutung, die salopp formuliert, Vorhersagen ├╝ber das Auftreten von Primzahlen erm├Âglicht, ist bislang nicht bewiesen.


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Nun hat der japanische Mathematiker Shinichi Mochizuki einen Beweis f├╝r die sogenannte abc-Vermutung vorgelegt. Auch darin geht es um Primzahlen, und zwar um die Beziehungen zwischen ihnen. Die Arbeit Mochizukis hat Mathematiker weltweit aufhorchen lassen. Denn sollte der Beweis tats├Ąchlich stimmen, w├╝rde er manches Problem aus der Zahlentheorie gleich mitl├Âsen - oder zumindest neue Ans├Ątze daf├╝r liefern.

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Unter anderem folgt aus der abc-Vermutung direkt der Gro├če Fermatsche Satz - ein Problem, das Mathematiker seit mehr als 300 Jahre zu l├Âsen versuchen. Der Satz besagt, dass die Gleichung a + b = c f├╝r n>2 keine L├Âsung f├╝r nat├╝rliche Zahlen a, b, c besitzt. Formuliert hatte ihn bereits im 17. Jahrhundert der Mathematiker Pierre de Fermat, der Beweis gelang erst 1994.

Die abc-Vermutung ist etwas komplizierter als der Gro├če Fermat, aber trotzdem noch gut zu verstehen. Auch darin geht es um drei nat├╝rliche Zahlen a, b und c, wobei c die Summe aus a und b ist und alle drei Zahlen keine gemeinsamen Teiler besitzen.

a + b = c

Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 25, 27 und 52. Es gilt:

25 + 27 = 52

Diese drei Zahlen sind auch teilerfremd, denn 25 = 5*5, 27 = 3*3*3 und 52 = 2*2*13. Nun bilden wir das sogenannte Radikal dieser drei Zahlen. Es ist das Produkt aller in ihnen enthaltenen Primzahlen, wobei mehrfach auftretende Primzahlen wie zum Beispiel die 5 nur einmal ber├╝cksichtigt werden. So erhalten wir:

Radikal (abc) = 2*3*5*13 = 390

Die abc-Vermutung besagt nun, dass dieses Radikal bis auf wenige Ausnahmen immer gr├Â├čer ist als die Zahl c. Formuliert wurde diese Vermutung ├╝brigens erst erst 1985 von zwei Zahlentheoretikern, dem Briten David Masser und dem Franzosen Joseph Oesterl├ę. In unserem Beispiel 25, 27, 52 trifft sie zu, denn 390 ist gr├Â├čer als 52.

Plus und Mal verquickt

F├╝r Zahlentheoretiker ist die abc-Vermutung von gro├čem Interesse. "Hier kommen die beiden Welten Addition und Multiplikation zusammen", sagt J├╝rg Kramer, Mathematiker an der Humboldt-Universit├Ąt Berlin. In a, b und c steckten unterschiedliche Primfaktoren - und es gelte gleichzeitig die Beziehung a + b = c. "Addition und Multiplikation werden gewisserma├čen verquickt, und das macht es auch so schwierig", erkl├Ąrt Kramer.

Wie vertrackt das Addieren von Primzahlen sein kann, zeigt das einfache Beispiel 17 + 19. Beide Summanden sind Primzahlen - ihre Summe 36 ist hingegen eine aus Sicht von Zahlentheoretikern eher langweilige Zahl - n├Ąmlich das Produkt 2*2*3*3. Die Summe zweier ungew├Âhnlicher Zahlen kann also eine ganz gew├Âhnliche Zahl sein. Es l├Ąsst sich kaum vorhersagen, welche Primfaktoren in dieser Summe stecken. "Das ist eine ganz chaotische Situation", sagt Kramer.

Ob der Beweis des Japaners Shinichi Mochizuki stimmt, kann derzeit noch niemand sagen. Er besteht aus vier Teilmanuskripten mit zusammen 500 Seiten und ist im Internet ver├Âffentlicht. Unter den Referenzen, auf die Mochizuki verweist, sind auch diverse noch nicht begutachtete Arbeiten von ihm selbst - Preprints, die zur einer Publikation bei einem Fachblatt eingereicht wurden. Zu den 500 Seiten des Beweises kommen deshalb wohl noch Hunderte weitere zu begutachtende Seiten hinzu.

Wie lang die Pr├╝fung des Beweises dauern wird, l├Ąsst sich schwer vorhersagen. "Wenn die Begutachtung sehr schnell geht, ist das oft eine schlechte Nachricht", sagt G├╝nter Ziegler von der TU Berlin. Er erinnert sich noch an den spektakul├Ąr angek├╝ndigten Beweis des Gro├čen Fermatschen Satzes durch Andrew Wiles im Jahr 1993. "Sieben Gutachter haben den Beweis damals gepr├╝ft, mehr als ├╝blich." Wiles sei schon gefeiert worden, aber dann habe einer der Gutachter einen fatalen Fehler entdeckt. "Der Fehler war so gro├č, dass er sich nicht einfach reparieren lie├č."

Die Sache nahm trotzdem ein gutes Ende, denn Wiles setzte sich noch mal an den Schreibtisch und fand eine korrekte L├Âsung. "So etwas kennt man als Mathematiker eigentlich nicht", sagt Ziegler. ├ťblich seien eher kleinere L├╝cken im Beweis, die noch geschlossen werden m├╝ssten.

Dass Shinichi Mochizuki ein guter Mathematiker ist, daran zweifelt sein Berliner Kollege Kramer kaum: "Er forscht an einem renommierten Institut an der Kyoto University und hat schon beachtenswerte Arbeiten publiziert." Zudem habe Mochizuki hat eine gute Ausbildung bekommen, denn er habe bei Gerd Faltings promoviert. Faltings leitet das Max-Planck-Institut f├╝r Mathematik in Bonn. Er ist der bislang einzige Deutsche, der eine Fields-Medaille bekommen hat, die als Nobelpreis f├╝r Mathematik gilt.

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